모험러의 책방

아래 인용에서 Ω가 완전히 랜덤이라는 것은 쉽고 단순화 해서 말하면 이런 것이다. 특정 공리계 내에서 랜덤으로 선택된 명제들이 증명 혹은 반증 가능할 가능성 역시 랜덤이라는 것. 아인슈타인은 "신은 주사위를 던지지 않는다"고 말했다는데, 양자역학과 수학(논리학)은 신은 지금도 이 자연계에 열심히 주사위를 던지고 있는 중이라는 것을 밝혀냈다. 「논리학자: 논리적으로는 만일 Ω의 수치를 n비트까지 알면 길이가 n비트까지의 임의의 프로그램에 대한 정지 문제를 풀 수 있습니다. 결국 Ω에는 유한한 공리계가 이끄는 모든 문제에 대한 진리가 포함되어 있습니다. 그런데 체이틴은 Ω가 '완전히 랜덤'이라는 것을 증명한 거죠! 사회자: 그것이 대체 무슨 뜻입니까? 논리학자: 체이틴은 모든 프로그램에서 추출한 Ω가 실제로..

괴델 불완전성 정리는 인간 이성의 한계와 동시에 인간 정신의 측량할 수 없는 깊이를 보여준다. 이성은 정신의 한 도구일 뿐이다. 인간에게는 이성뿐만 아니라 직관과 영감 그리고 상상할 수 있는 능력이 있다. 인간은 인공지능 기계가 아니다. 「논리학자: 그래서 튜링 기계의 정식화에 의해서 발견한 기본적인 정리가 모두 그 '한계'를 나타내고 있다는 점에 주의해주십시오. 괴델·튜링의 불완전성 정리는 어떤 튜링 기계도 모든 진리를 이끌어낼 수 없다는 것을 보여주고, 처치의 정리는 튜링 기계가 언제 정지하는가를 사전에 결정할 수 없다는 것을 보여주고 있습니다. 따라서 가령 인간 이성 혹은 인간 그 자체가 튜링 기계라면 이것들의 한계를 초월하는 것은 불가능합니다. 운동선수: 이 심포지엄을 시작하면서 육상경기에서 사람..

특정 시스템의 진리성은 그 시스템 내부에서는 정의 불가능하다. 그 시스템 내부의 어떤 진리가 참임을 (직관으로) 알 수 있을지라도 그것을 다 (이성으로) 증명할 수 있는 것은 아니다. 이것이 괴델 불완전성 정리의 혁명적인 함의. 뉴욕주립대학의 철학자 패트릭 그림은 불완전성 정리의 철학적 귀결로 신의 비존재론을 이끌어내기도 했다고 한다. 「사회자: 시스템에 구멍이 있다는 얘기군요. 거기까지는 잘 이해했습니다만, 그 정리(괴델의 불완전성 정리)가 어떤 의미에서 심원한 것인지 알 수 없습니다만···. 논리학자: 요컨대 아무리 난해해도 수학 문제에는 반드시 참이나 거짓의 해가 존재하리라고 생각할 것입니다. 따라서 수학적 진리는 현시점에서는 해를 발견하지 못했다고 해도 언젠가는 반드시 증명될 것이라고 생각합니다...