괴델의 불완전성 정리

특정 시스템의 진리성은 그 시스템 내부에서는 정의 불가능하다. 그 시스템 내부의 어떤 진리가 참임을 (직관으로) 알 수 있을지라도 그것을 다 (이성으로) 증명할 수 있는 것은 아니다. 이것이 괴델 불완전성 정리의 혁명적인 함의. 뉴욕주립대학의 철학자 패트릭 그림은 불완전성 정리의 철학적 귀결로 신의 비존재론을 이끌어내기도 했다고 한다.

「사회자: 시스템에 구멍이 있다는 얘기군요. 거기까지는 잘 이해했습니다만, 그 정리(괴델의 불완전성 정리)가 어떤 의미에서 심원한 것인지 알 수 없습니다만···.

논리학자: 요컨대 아무리 난해해도 수학 문제에는 반드시 참이나 거짓의 해가 존재하리라고 생각할 것입니다. 따라서 수학적 진리는 현시점에서는 해를 발견하지 못했다고 해도 언젠가는 반드시 증명될 것이라고 생각합니다.

그런데 사실은 그렇지 않습니다. 앞에서도 이야기했듯이 괴델의 불완전성 정리는 수학의 세계에서는 '진리'와 '증명'이 완전하게는 일치하지 않는 것을 분명히 했습니다. 게다가 괴델은 그저 완전히 일치하지 않는다는 결론만을 제시한 게 아닙니다. 그는 일반 수학 시스템 S에 대해 참임에도 불구하고 그 시스템에서는 증명할 수 없는 괴델 명제 G를 S의 내부에 구성하는 방법을 제시한 것입니다.

괴델 명제 G는 참이라는 것은 잘 알고 있음에도, 수학 시스템 S에서는 전혀 파악할 수 없는 거죠.

회사원: 잠시만요! 괴델 명제 G는 참이라는 것을 잘 알고 있지요? 그렇다면 S에 G를 추가한 시스템을 만들면 되지 않습니까?

논리학자: 매우 날카로운 제안입니다! 그러나 새로운 수학 시스템 S+G의 내부에는, 더욱이 다른 증명 불가능한 명제 G'를 구성할 수 있습니다. 그래서 S+G+G'를 만들어도 그 내부에는 G''를 구성할 수 있습니다.

이렇게 아무리 반복해 새로운 수학 시스템을 만들어도 괴델의 방법을 사용해 그 시스템 내부에서 전혀 파악할 수 없는 명제를 구성할 수 있습니다. 따라서 모든 수학적인 '진리'를 '증명'하는 시스템은 영원히 존재하지 않습니다!

수학사가: 괴델의 증명을 알고 수학계의 거물 힐베르트는 크게 분노했다고 전해지고 있습니다. 당시의 수학자는 모든 수학적 진리의 증명을 목적으로 하는 '힐베르트 프로그램'의 구축에 큰  기대를 가지고 있었기 때문입니다.

논리실증주의자: 수학자뿐이 아닙니다. 우리 같은 철학자도 술어논리의 완전성, 다음에는 자연수론의 완전성, 더 나아가 전 수학의 완전성이 증명될 것이라고 생각하고 있었습니다. 거기에서 출발해 모든 과학적인 인식을 명확히 하는 게 우리들의 꿈이었기 때문에···.

회사원: 그 같은 꿈을 괴델이 깬 것입니까!

논리학자: 그렇습니다.」*

14/08/11

* 다카하시 쇼이치로, <이성의 한계>에서 발췌, 편집.

이성의 한계